PRIMERA PARTE

I. Nombra extensionalmente, si es posible, los siguientes conjuntos:

A = {x / x es un número natural menor que 7}

B = {x / x es la capital de Francia v x es el actual rey de España}

C = {x / x es tenista & x es un océano}

D = {x / x es un número primo mayor que 7}

Soluciones:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {París, Juan Carlos I}

C = Ø

D no se puede (es infinito)

II. Si A = {a, b, c}, nombra por enumeración Pot A.

Solución:

Pot A = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

III. Para cada uno de los siguientes argumentos di si es deductivamente válido y, si no lo es, si es inductivamente fuerte o débil y explica por qué.

(1) Ningún alumno de Lógica II es checo. Vaclav es checo. Vaclav no es alumno de Lógica II.

(2) La mayoría de los hindúes juegan bien al ajedrez. Murali es hindú. Por tanto, Murali juega bien al ajedrez.

(3) Algunos calvos tocan bien el contrabajo. Jerónimo toca bien el contrabajo. Jerónimo es calvo.

(4) La mayoría de los hindúes juegan bien al ajedrez. Patel es hindú. Patel es incapaz de aprender a sumar. Por tanto, Patel juega bien al ajedrez.

Soluciones:

(1) Deductivamente válido.

(2) Inductivamente fuerte.

(3) Inductivamente débil.

(4) Inductivamente débil.

IV. ¿Cuáles de estos conjuntos están incluidos en cuáles? ¿Cuáles son elementos de cuáles?

A = Ø [A Í A, A Í B, A Í C, A Í D A Í E A Î B]

B = { Ø } [B Í B B Î C]

C = { 1, 2, { Ø } } [C Í C]

D = { 2 } [D Í D D Í E D Í C D Î E]

E = { 1, 2, {2} } [E Í E]

V. Este argumento tiene premisas falsas y conclusión falsa, pero es válido. Explica por qué. Construye un argumento formalmente equivalente, pero además con premisas verdaderas, esto es, correcto.

Premisa: Todos los daneses son físicos cuánticos; Premisa: Julio Iglesias es danés; Conclusión: Julio Iglesias es un físico cuántico.

Solución:

El argumento es válido por que, de ser las premisas verdaderas la conclusión no podría no serlo. La forma del argumento es: (1) Ax (Dx ---> Fx); (2) Da; (3) Fa. Todo argumento con esta forma es deductivamente válido. Es decir, todo argumento con esta forma y premisas verdaderas será correcto, tendrá una conclusión verdadera. Por ejemplo: (1) Todos los sicilianos son italianos; (2) Vito Corleone es siciliano; (3) Vito Corleone es italiano.

SEGUNDA PARTE

I. En el siguiente modelo, ¿qué fórmulas son verdaderas y cuáles falsas?

U = {0, 1, 2, 3}

I (c) = 0 I (P) = {0, 1} I (Q) = {1, 2}

I (R) = {<0, 1>, <1, 2>, <2, 2>}

1. $x Rcx V

2. "x$y Rxy F

3. $x Rcx → Ø "x Rxx V

4. $x"y Rxy F

5. $y"x (Qx → Ø Rxy) V

6. "x (Px → $y Rxy) V

7. "x (Ø Px ↔ Ø Qx) F

8. $x (Px ↔ Qx) V

9. "x (Px → (Qx v x = c)) V

10. "x Px v "x Qx F

II. Para cada una de las siguientes fórmulas da una interpretación que la haga la verdadera y otra que la haga falsa (esto es, dos interpretaciones por fórmula):

1. $xyz (x ≠ y & y ≠ z & x ≠ z)

Verdadero: U = {0, 1, 2};

Falso: U = {0}

2. "x Rxx

Verdadero: U = {0}, I (R) = {<0, 0>};

Falso: U = {0}, I (R) = Ø

3. "x (x = a v x = b → Px)

Verdadero: U = {0}, I (a) = 0, I (b) = 0, I (P) = {0}

Falso: U = {0}, I (a) = 0, I (b) = 0, I (P) = Ø

4. $xy (Qx & Qy & x ≠ y)

Verdadero: U = {0, 1}, I (Q) = {0, 1}

Falso: U = {0}, I (Q) = Ø

5. $y ("x (Sx & Gx ↔ x = y) & y = a)

Verdadero: U = {0}, I (a) = 0, I (S) = {0}, I (G) = {0}

Falso: U = {0}, I (a) = 0, I (S) = {0}, I (G) = Ø

III. Da una interpretación que muestre la independencia de 2 con respecto a 1. Otra que muestre la independencia de 1 con respecto a 2.

1. "x (Px → Qx)

2. $x (Px & Qx)

Soluciones:

III. A [interpretación que satisface 1 y no satisface 2]

U = {0}

I (P) = Ø

I (Q) = Ø

III. B [interpretación que satisface 2 y no satisface 1]

U = {0, 1}

I (P) = {0, 1}

I (Q) = {0}

IV. Cada una de estas tres fórmulas es independiente de las otras dos. Da tres interpretaciones que muestren la independencia de cada una respecto de las demás.

1. "x Rxx

2. "xy (Rxy → Ryx)

3. "xyz (Rxy & Ryz → Rxz)

Soluciones:

IV. A [interpretación que satisface 1 y 2 y no satisface 3]

U = {0, 1, 2}

I (R) = {<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <0, 1>, <1, 0>, <1, 2>, <2, 1>,}

IV. B [interpretación que satisface 1 y 3 y no satisface 2]

U = {0, 1}

I (R) = {<0, 0>, <1, 1>, <0, 1>}

IV. C [interpretación que satisface 2 y 3 y no satisface 1]

U = {0}

I (R) = Ø

V. Mostrar la independencia de 3 con respecto a 2 y 1.

1. "xyz (Rxy & Ryz → Rxz)

2. "x$y Rxy

3. "xy ($z (Rxz & Ryz) → Rxy)

Solución:

U = {0, 1}

I (R) = {<0, 0>, <1, 0>}